Equivalência
Na matemática: É uma relação binária entre elementos de um dado conjunto, que satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.De forma mais rigorosa, uma relação de equivalência num conjunto X é uma relação binária que é reflexiva, simétrica e transitiva. Uma relação de equivalência permite particionar o conjunto em classes de equivalência; esta construção é muito importante para gerar vários conjuntos quocientes, como grupos quocientes ou topologias quocientes. A Ideia é partir de um conjunto, em princípio mais complicado, X e tentar criar um outro conjunto Y, mais simples, que vê elementos distintos de X como iguais. Então, estudando-se o conjunto mais simples Y pode-se tirar conclusões sobre X. Descobrir relações de equivalência é fundamental para os matemáticos entenderem certas classes de objetos. Como exemplos, temos a congruência dos inteiros, que é ferramenta básica para entendermos certos teoremas em Teoria dos Números, e a congruência de triângulos, importante pilar da geometria.
Na gramática: Poderíamos explicitar as regras morfológicas e sintáticas em linguagem natural. Um exemplo disso seria a seguinte definição de período: O período é composto por uma frase e opcionalmente pela sua concatenação com outras frases em número indefinido relacionadas duas a duas por sintagma conectivo. A definição de regras sintáticas em linguagem natural tem suas vantagens. Algumas pessoas se sentem mais confortáveis com elas. Mas temos também a opção de criar uma notação em estilo matemático para representá-las. Uma notação deste tipo oferece a vantagem de ser mais sintética, precisa e para alguns, mais elegante. Vamos deixar claro que a forma como explicitamos regras sintáticas não é central para o estudo da sintaxe. Podemos ser bem sucedidos usando linguagem natural, formal, ou mesmo visual, como acontece quando usamos árvores sintáticas. Temos que considerar também que existem inúmeras possibilidades de notação matemática e nenhuma é melhor que outra, desde que todas sejam rigorosas e precisas. Da nossa parte, procuraremos utilizar, sempre que possível, notações consagradas. Com isso, evitamos despender energia com a assimilação de novas regras de notação. Os gramáticos da linha gerativo-transformacional, por exemplo, já desenvolveram uma notação disseminada no meio lingüístico que procuraremos aproveitar em nosso trabalho. A notação que vamos utilizar é uma linguagem artificial de representação de um modelo teórico que interpreta as regras sintáticas da língua. Essa notação é uma linguagem que empregamos para estudar outra linguagem. Mais precisamente, que usamos para descrever o aspecto sintático de uma língua. A qualidade da notação não influi em nada na qualidade do modelo de descrição da língua. Em outras palavras: a notação pode ser primorosa e o modelo teórico inconsistente e vice-versa.

Transformação de estruturas
Gramática Gerativo-Transformacional: A publicação de Syntactic Structures (1957; Estruturas sintáticas), do americano Noam Chomsky, deu nova orientação aos estudos lingüísticos modernos. Chomsky reagia contra as hipóteses teóricas do distribucionalismo (fora discípulo de Zellig S. Harris) e expunha o que deveria ser, em sua opinião, o objetivo da lingüística: a formulação de uma gramática que, por meio de um número finito de regras, fosse capaz de gerar todas as frases de um idioma, do mesmo modo que um falante pode formar um número infinito de frases em sua língua, mesmo quando nunca as tenha ouvido ou pronunciado. Tais regras, afirmou Chomsky, não são leis da natureza. Foram "construídas pela mente durante a aquisição do conhecimento" e podem ser consideradas "princípios universais da linguagem". A tese representou uma negação frontal do behaviorismo. Cabia ao lingüista a tarefa de construir essa gramática, a partir do que Chomsky denominou "competência" (o conhecimento que o falante possui de sua língua e que lhe permite gerar e compreender mensagens) e não do "desempenho" (o emprego concreto que o falante faz de sua língua). A regras gramaticais que permitissem gerar orações inteligíveis num idioma seria denominada gramática gerativa. Em suas formulações sobre essa gramática, Chomsky distinguiu três componentes: o sintático, com função geradora; o fonológico, a imagem acústica da estrutura elaborada pelo componente sintático; e o semântico, que interpreta essa imagem. Em oposição à gramática estruturalista dos distribucionalistas, que se baseava na análise dos constituintes imediatos, Chomsky analisou as estruturas das orações em dois níveis, o profundo e o superficial, para indicar as transformações produzidas ao se passar de um nível para outro e as regras que regem as transformações. Esses conceitos explicam a razão do termo gramática gerativo-transformacional e fundamentaram grande parte dos estudos lingüísticos realizados depois de Chomsky. Segundo a teoria gerativo-transformacional, todas as línguas possuem uma estrutura superficial ou aparente, que representa a forma em que aparece a oração, e outra estrutura profunda ou latente, que encerra o conteúdo semântico da oração e forma o corpus gramatical básico que o falante de uma língua possui. Por meio de uma quantidade limitada de regras de transformação, o falante pode criar um número infinito de orações superficiais. O componente fonológico, ou seja, a imagem acústica das estruturas elaboradas pelo componente sintático, é dado por uma série de segmentos -- denominados morfofonemas por alguns lingüistas -- com traços distintivos que indicam como devem ser representadas, na estrutura superficial, as orações geradas pela sintaxe. De maneira semelhante, o componente semântico fornece o significado às orações da estrutura superficial pela substituição ou inserção léxica de palavras e morfemas (unidades significativas) durante o processo de transformação da estrutura profunda na superficial. Essa consideração do componente semântico, que respondia à diferenciação entre sintaxe e semântica das primeiras formulações da gramática gerativa, foi um dos pontos mais conflituosos para teorias gerativas posteriores, que consideravam inexistente essa diferenciação.